Inteligência Artificial prevê. Programação Linear decide (parte 2)
Atualizado: 15 de ago.
A Análise de Sensibilidade responde a uma pergunta que todo gestor deveria fazer.
Você é um incorporador imobiliário.
Seu modelo de Machine Learning, treinado com o histórico de vendas da empresa, estima que uma casa poderá ser vendida por R$ 2,475 milhões.
Excelente.
Agora vem a segunda etapa.
Você precisa decidir quanto investir na reforma antes de colocar o imóvel à venda.
O orçamento disponível é de R$ 275 mil.
Existem duas possibilidades principais:
reforma da cozinha;
paisagismo.
Seu modelo estima que cada R$ 1 mil investido na cozinha acrescentará R$ 1,80 mil ao valor esperado de venda.
No paisagismo, o acréscimo estimado é de R$ 1,20 mil para cada R$ 1 mil investido.
A conclusão parece óbvia:
Invista todo o orçamento na cozinha.
E é exatamente isso que o modelo de otimização recomenda.
Mas então o diretor faz uma pergunta:
“E se essas estimativas estiverem erradas?”
Silêncio.
Porque agora surge uma questão diferente:
Até que ponto a decisão ótima continua sendo ótima quando os dados utilizados pelo modelo mudam?
É aqui que entra a Análise de Sensibilidade.
O problema da otimização quando os dados não são perfeitos
No artigo anterior, vimos uma ideia fundamental:
Machine Learning prevê. Programação Linear decide.
Mas existe uma terceira questão.
A previsão do Machine Learning não é uma verdade absoluta.
Se o modelo apresentou um RMSE de R$ 121 mil, isso significa que suas previsões apresentam, em média, um erro dessa ordem. Portanto, o preço de venda previsto em R$ 2,475 milhões não deve ser interpretado como um número exato.
Existe incerteza. E essa incerteza pode chegar à etapa seguinte do processo.
Previsão → Otimização → Decisão
O problema é que uma decisão ótima calculada com determinados parâmetros pode deixar de ser ótima quando esses parâmetros mudam.
Por isso, não basta perguntar: “Qual é a solução ótima?”
É preciso perguntar também: “Quão sensível é essa solução aos erros nas estimativas?”
O problema matematicamente
Imagine que o incorporador tenha R$ 275 mil disponíveis para investir na reforma.
Definimos:
x = valor investido na cozinha, em milhares de reais
y = valor investido no paisagismo, em milhares de reais
O modelo estima os seguintes retornos adicionais:
cozinha: R$ 1,80 de retorno para cada R$ 1 investido;
paisagismo: R$ 1,20 de retorno para cada R$ 1 investido.
Como estamos trabalhando em milhares de reais, podemos escrever o lucro adicional como:
L = 0,80x + 0,20y
Porque, para cada R$ 1 investido:
a cozinha acrescenta R$ 1,80 ao imóvel, mas custa R$ 1,00;
portanto, o lucro adicional é R$ 0,80.
No paisagismo:
retorno = R$ 1,20, custo = R$ 1,00;
lucro adicional = R$ 0,20.
Temos ainda a restrição orçamentária:
x+y < 275 e x, y > 0
Portanto, o problema de Programação Linear é:
max L= 0,80x + 0,20y
sujeito a:
x + y ≤ 275 e x ≥ 0, y≥ 0
A solução é obviamente:
x=275, y=0
Ou seja:
O modelo recomenda investir os R$ 275 mil integralmente na cozinha.
O lucro adicional esperado é: 0,80 x 275= R$ 220 mil
Até aqui, tudo parece resolvido.
Mas não está.
E se a estimativa da cozinha estiver errada?
Suponha agora que o modelo de Machine Learning tenha superestimado o retorno da reforma da cozinha.
O coeficiente utilizado na otimização foi 0,80, mas talvez o retorno real seja menor.
Poderia ser 0,70, 0,50, ou até 0,20.
A pergunta passa a ser:
Em que ponto a decisão de colocar todo o dinheiro na cozinha deixa de ser ótima?
Análise de Sensibilidade
Análise de Sensibilidade verifica como a solução ótima reage a alterações nos parâmetros do modelo. No nosso exemplo, claramente enquanto 0,80 > 0,20 a cozinha oferece um lucro marginal maior que o paisagismo.
Portanto, investir o orçamento na cozinha continua sendo a melhor decisão.
Mas imagine que o retorno marginal da cozinha caia para 0,20 e aí as duas alternativas são igualmente atraentes.
A partir desse ponto, existe mais de uma solução ótima porque se o retorno da cozinha cair abaixo de 0,20 o paisagismo passa a ser a alternativa mais lucrativa.
Portanto:
A decisão “investir tudo na cozinha” é robusta enquanto o retorno marginal da cozinha permanecer acima do retorno marginal do paisagismo.
Uma solução ótima sem análise de sensibilidade é uma decisão no escuro. Um exemplo simples, mas a realidade é muito mais complexa.
Preço-sombra: quanto vale conseguir mais orçamento?
Além de testar a robustez dos coeficientes, a Análise de Sensibilidade responde a outra pergunta clássica da gestão:
“E se eu conseguir mais R$ 10 mil de orçamento? Quanto isso vale para o negócio?”
A resposta está no preço-sombra (shadow price) da restrição orçamentária.
No nosso exemplo, enquanto a cozinha continuar sendo a alternativa marginalmente mais lucrativa, cada R$ 1 mil adicional de orçamento permite aumentar o lucro ótimo em aproximadamente R$ 0,80 mil, ou seja, R$ 800.
Portanto, o preço-sombra da restrição orçamentária é 0,80. Isso significa que, se o orçamento aumentar em R$ 10 mil, o lucro ótimo poderá aumentar aproximadamente: 10 x R$800 = R$8.000 desde que esse aumento esteja dentro da faixa de validade do preço-sombra.
Essa informação tem uma interpretação econômica muito importante.
Imagine que a empresa tenha a possibilidade de obter R$ 10 mil adicionais para a reforma. Se o custo efetivo para conseguir esse dinheiro — juros, custo de capital e outros custos associados — for inferior ao benefício marginal indicado pelo preço-sombra, aumentar o orçamento pode ser economicamente interessante.
Em outras palavras:
O preço-sombra transforma uma restrição matemática em uma informação econômica.
Ele permite ao gestor perguntar não apenas:
“Qual é a melhor utilização do orçamento que tenho?”
mas também:
“Quanto vale para minha empresa conseguir um pouco mais desse recurso?”
É justamente essa interpretação que torna a Análise de Sensibilidade tão útil na prática.
No mundo real
O exemplo da cozinha e do paisagismo é deliberadamente simples.
Ele serve para mostrar um conceito fundamental da Programação Linear: quando existem alternativas concorrentes e recursos limitados, a matemática pode determinar como alocar esses recursos para obter o melhor resultado possível.
Aqui, temos apenas duas alternativas:
investir na cozinha;
investir no paisagismo.
E apenas uma restrição principal:
orçamento máximo de R$ 275 mil.
Na prática, porém, um incorporador imobiliário pode ter dezenas de possibilidades de reforma.
Além da cozinha e do paisagismo, pode ser necessário decidir quanto investir em banheiros, pisos, pintura e muitos outros.
E o problema não termina aí.
Existem também diversas restrições simultâneas além do orçamento máximo disponível. Prazo máximo para concluir a reforma, disponibilidade de mão de obra, etc.
Imagine, por exemplo, que a reforma tenha 30 atividades diferentes, cada uma com um custo, um prazo e um retorno esperado diferente.
Agora temos dezenas de variáveis de decisão e muitas restrições simultâneas.
O problema deixa de ser:
“Cozinha ou paisagismo?”
e passa a ser:
“Qual combinação entre dezenas de investimentos maximiza o valor esperado do imóvel, respeitando simultaneamente todas as restrições?”
É nesse tipo de situação que a Programação Linear mostra sua força.
É por isso que, no mundo empresarial, utilizam-se ferramentas especializadas de otimização, como o Solver do Excel, o Gurobi, o CPLEX e outros solvers de Programação Linear e Otimização Matemática.
Essas ferramentas recebem o modelo matemático e utilizam algoritmos de otimização para encontrar a solução ótima.
Mas existe uma distinção fundamental:
O software resolve o modelo. Ele não cria o modelo corretamente para você.
É preciso decidir quais são as variáveis, qual é a função objetivo, quais são as restrições e quais valores devem ser utilizados nos coeficientes.
Um solver pode encontrar rapidamente a solução ótima de um modelo matemático mal formulado.
E nesse caso teremos uma resposta matematicamente correta para um problema que talvez esteja errado.
É justamente por isso que compreender a matemática da otimização continua sendo importante mesmo quando utilizamos ferramentas sofisticadas.
O desafio não é apenas encontrar a solução. É formular corretamente o problema que queremos resolver.
Quer aprender a extrair essas informações e aplicá-las na prática? O Capítulo 2 do Volume II – Otimização – Matemática para o Século XXI, mostra o caminho, com exemplos em Python e interpretação de negócio.
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